Colle de mathématiques MP
Exercice
(CCINP 84)
- a) Donner la définition d'un argument d'un nombre complexe non nul (on ne demande ni l'interprétation géométrique, ni la démonstration de l'existence d'un tel nombre).
- b) Soit \(n\in{\mathbb{N}^{*}}\). Donner, en justifiant, les solutions dans \(\mathbb{C}\) de l'équation \(z^{n}=1\) et préciser leur nombre.
- c) En déduire, pour \(n\in{\mathbb{N}^{*}}\), les solutions dans \(\mathbb{C}\) de l'équation \(\left( z+\mathrm{i}\right)^{n}=\left(z-\mathrm{i}\right)^{n}\) et démontrer que ce sont des nombres réels.
Exercice
(CCINP 85)
Soient \(n \in{\mathbb{N}^{*}}\), \(P\in{\mathbb{R}_{n}[X]}\) et \(a \in{\mathbb{R}}\).
- a) Donner sans démonstration, en utilisant la formule de Taylor, la décomposition de \(P(X)\) dans la base \(\left( 1, X-a, \left( X-a\right) ^{2}, \cdots, (X-a)^{n}\right)\).
-
b) Soit \(r\in{\mathbb{N}^{*}}\). En déduire que : \(a\) est une racine de \(P\) d'ordre de multiplicité \(r\) si et seulement si \(P^{(r)}(a)\neq 0\) et \(\forall k \in{\range{0}{r-1}}\) , \(P^{(k)}(a)=0\).
-
c) Déterminer deux réels \(a\) et \(b\) pour que \(1\) soit racine double du polynôme \(P=X^{5}+aX^{2}+bX\) et factoriser alors ce polynôme dans \(\mathbb{R}[X]\).
Exercice
(CCINP 86)
Soit \((a,b,p)\in{\mathbb{Z}^{3}}\).
- a) Prouver que : si \(p \wedge a = 1\) et \(p\wedge b=1\), alors \(p\wedge (ab)=1\).
-
b) Soit \(p\) un nombre premier.
Prouver que \(\forall k \in{\range{1}{p-1}}\), \(p\) divise \(\dbinom{p}{k}k!\) puis en déduire que \(p\) divise \(\dbinom{p}{k}\).
-
c) Prouver que: \(\forall n \in{\mathbb{N}}\), \(n^{p}\equiv n \mod p\).
Indication : procéder par récurrence.
-
d) En déduire, pour tout entier naturel \(n\), que : \(p \nmid n \Rightarrow n^{p-1}\equiv 1 \mod p\).
Exercice
Un groupe \((G,\cdot)\) est dit divisible si, pour tout \(g\in G\) et tout \(n\in\mathbb N^*\), il existe \(u\in G\) tel que \(u^n=g\).
- a) Le groupe \((\mathbb Q,+)\) est-il divisible?
- b) Montrer que \((\mathbb Q,+)\) et \((\mathbb Q_+^*,\cdot)\) ne sont pas isomorphes.
Exercice
Soit \((G,\cdot)\) un groupe. Pour \(a\in G\), on note \(\tau_a:G\to G\) défini par \(\tau_a(x)=axa^{-1}\).
- a) Démontrer que \(\tau_a\) est un endomorphisme de \(G\).
- b) Vérifier que, pour tous \(a,b\in G\), \(\tau_a\circ \tau_b=\tau_{ab}\).
- c) Montrer que \(\tau_a\) est bijective et déterminer son inverse.
- d) En déduire que \(\Theta=\{\tau_a;\ a\in G\}\) muni du produit de composition est un groupe.
Exercice
On note \(GL_n(\mathbb Z)\) l'ensemble des matrices de \(\mathcal M_n(\mathbb R)\), à coefficients dans \(\mathbb Z\), qui sont inversibles et dont l'inverse est à coefficients dans \(\mathbb Z\).
- a) Démontrer que si \(M\) est à coefficients dans \(\mathbb Z\), alors \(M\in GL_n(\mathbb Z)\) si et seulement si \(\det(M)=\pm 1\).
- b) En déduire que \(GL_n(\mathbb Z)\) est un sous-groupe de \(GL_n(\mathbb R)\).
Exercice
Soit \(d\in\mathbb N\) tel que \(\sqrt d\notin \mathbb Q\). On note
Démontrer que \((\mathbb Q[\sqrt d],+,\times)\) est un corps.
Exercice
Soit \(p\) un nombre premier. On note
- a) Vérifier que \(\mathbb Z_p\) est un sous-anneau de \((\mathbb Q,+,\times)\).
-
b) Soit \(k\geq 0\). On note
\[ J_{p^k}=\left\{\frac mn;\ (m,n)\in\mathbb Z\times \mathbb N^*,\ p\wedge n=1,\ p^k| m\right\}. \]Vérifier que \(J_{p^k}\) est un idéal de \(\mathbb Z_p\).
-
c) Réciproquement, montrer que si \(I\) est un idéal non nul de \(\mathbb Z_p\), il existe \(k\geq 0\) tel que \(I=J_{p^k}\).
Exercice
Soit \(A\) un anneau. On appelle caractéristique de \(A\) l'ordre de \(1_A\) dans le groupe additif \((A,+)\). Dans la suite, on supposera que \(A\) est de caractéristique finie \(n\).
- a) Démontrer que, pour tout \(x\in A\), \(nx=0\).
- b) Démontrer que si \(A\) est intègre, \(n\) est un nombre premier.
- c) Démontrer que si \(A\) est intègre et commutatif, alors \(x\mapsto x^n\) est un morphisme d'anneaux.
Exercice
Soit \(A\) la somme des chiffres de \(4444^{4444}\), \(B\) celle de \(A\) et \(C\) celle de \(B\). Que vaut \(C\) ?
Exercice
Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme \(4n+3\).