Interro 1 — Programmation Python

MPSI tronc commun, année scolaire 2021-2022 — deux sujets (A et B).

Corrigés

La source ne comporte pas de corrigé. Les corrigés ci-dessous sont des propositions (testées), à relire.

Sujet A

Exercice 1. Écrire une fonction somme qui prend en paramètre un entier \(n\) et calcule \(\sum_{i=1}^{n^2} \prod_{j=1}^{i} (i^3 + (j-i)^2)\).

Corrigé

def somme(n):
    s = 0
    for i in range(1, n**2 + 1):
        p = 1
        for j in range(1, i + 1):
            p = p * (i**3 + (j - i)**2)
        s = s + p
    return s

Exercice 2. Écrire une fonction maximum qui prend en entrée un tableau \(t\), deux indices \(i\) et \(j\), on supposera qu'elle sera toujours appelée avec \(0 \le i \le j < len(t)\), et renvoie l'indice de la plus grande valeur de \(t\) comprise entre les indices \(i\) et \(j\).

Dans le cas où plusieurs indices conviennent on renverra le plus petit.

Corrigé

L'inégalité stricte garantit qu'on conserve le premier indice rencontré.

def maximum(t, i, j):
    m = i
    for k in range(i + 1, j + 1):
        if t[k] > t[m]:
            m = k
    return m

Exercice 3. Écrire une fonction diviseur_carre qui prend en entrée un entier \(n\) et renvoie un booléen indiquant si \(n\) a un diviseur de la forme \(p^2\).

Corrigé

On exclut le cas trivial \(p = 1\) et on teste les \(p \ge 2\) tels que \(p^2 \le n\).

def diviseur_carre(n):
    p = 2
    while p * p <= n:
        if n % (p * p) == 0:
            return True
        p = p + 1
    return False

Exercice 4. Écrire une fonction decale qui prend en entrée le caractère \(c\) d'une lettre de l'alphabet en minuscule et un entier \(d\) et renvoie la lettre déduite de \(c\) par un décalage de \(d\) lettres modulo la longueur de l'alphabet : \(y \rightarrow z \rightarrow a\) est décalé de 2.

Exemple : decale('c',3) renvoie 'f' et decale('y',2) renvoie 'a'.

Rappel : les caractères sont tous associés à des numéros dans une table, ord renvoie le numéro associé à un caractère et chr le caractère associé à un numéro.

Corrigé

def decale(c, d):
    return chr(ord('a') + (ord(c) - ord('a') + d) % 26)

Sujet B

Exercice 1. Écrire une fonction somme qui prend en paramètre un entier \(n\) et calcule \(\sum_{i=-n}^{n} \prod_{j=i}^{2i} j (i-j)^3\).

Corrigé

Pour \(i < 0\), on a \(2i < i\) : le produit est vide et vaut \(1\), ce que donne naturellement la boucle sur range(i, 2*i + 1).

def somme(n):
    s = 0
    for i in range(-n, n + 1):
        p = 1
        for j in range(i, 2 * i + 1):
            p = p * j * (i - j)**3
        s = s + p
    return s

Exercice 2. Écrire une fonction minimum qui prend en entrée un tableau \(t\), deux indices \(i\) et \(j\), on supposera qu'elle sera toujours appelée avec \(0 \le i \le j < len(t)\), et renvoie l'indice de la plus petite valeur de \(t\) comprise entre les indices \(i\) et \(j\).

Dans le cas où plusieurs indices conviennent on renverra le plus grand.

Corrigé

L'inégalité large garantit qu'on conserve le dernier indice rencontré.

def minimum(t, i, j):
    m = i
    for k in range(i + 1, j + 1):
        if t[k] <= t[m]:
            m = k
    return m

Exercice 3. Écrire une fonction diviseur_cube qui prend en entrée un entier \(n\) et renvoie un booléen indiquant si \(n\) a un diviseur de la forme \(p^3\).

Corrigé

def diviseur_cube(n):
    p = 2
    while p * p * p <= n:
        if n % (p * p * p) == 0:
            return True
        p = p + 1
    return False

Exercice 4. Écrire une fonction decale qui prend en entrée le caractère \(c\) d'une lettre de l'alphabet en minuscule et un entier \(d\) et renvoie la lettre déduite de \(c\) par un décalage de \(d\) lettres modulo la longueur de l'alphabet : \(y \rightarrow z \rightarrow a\) est décalé de 2.

Exemple : decale('c',3) renvoie 'f' et decale('y',2) renvoie 'a'.

Rappel : les caractères sont tous associés à des numéros dans une table, ord renvoie le numéro associé à un caractère et chr le caractère associé à un numéro.

Corrigé

def decale(c, d):
    return chr(ord('a') + (ord(c) - ord('a') + d) % 26)